Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dalam materi trigonometri, selain ada rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai suatu sudut yang tidak termasuk sudut istimewa juga terdapat rumus trigonometri sudut rangkap. Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus sudut rangkap juga diguanakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut (utamanya untuk bukan sudut istimewa) tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel.

Seperti yang kita ketahui bahwa, besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 30o, 45o, 60o, 90o, dan sudut istimewa dengan penambahan secara periodik lainnya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75o, 105o, dan lain sebagainya.

Rumus trigonometri sudut rangkap meliputi 3 persamaan fungsi trigonometri. Ketiga persamaan tersebut adalah fungsi sin sudut rangkap, fungsi cos sudut rangkap, dan fungsi tan sudut rangkap. Di mana, seperti yang terlihat pada tiga persamaan yang diberikan pada gambar di atas

Rumus sudut rangkap dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dan meminimalkan dalam mengingat besar nilai fungsi trigonometri untuk sudut istimewa. Misalnya, diketahui bahwa sudut 60o merupakan sudut istimewa yang sobat idschool ketahui besar nilai fungsinya. Melalui rumus sudut rangkap trigonometri, sobat idschool dapat mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk sudut 120o.

Bagaimanakah sobat idschool dapat mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk besar sudut sama dengan 120?

Nilai fungsi trigonometri untuk besar sudut 120o merupakan hasil dari 2 × 60o . Dengan memanfaatkan rumus trigonometri, besar nilai sudut 120o dapat diketahui. Bukan hanya itu, rumus sudut rangkap trigonometri juga dapat digunakan untuk membuktikan fungsi trigonometri lainnya. Juga dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan terkait fungsi trigonometri.

Berikutnya, akan diuraikan lebih jelas lagi tentang rumus trigonometri sudut rangkap. Ulasan pertama yang akan diberikan adalah rumus sudut rangkap untuk fungsi sinus

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Bahasan pertama adalah rumus sudut rangkap fungsi sinus. Persamaan sudut rangkap untuk fungsi sinus dapat dinyatakan melalui sebuah persamaan, yaitu sin 2 alpha sama dengan 2 dikali sin alpha dikali cos alpha. Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

Dari mana fungsi rumus sudut rangkap fungsi sinus di atas diperoleh? Perhatikan pembuktian yang akan diberikan berikut.

Bukti:

$sin 2 \alpha = sin \left( \alpha + \alpha \right)$

$sin 2 \alpha = sin \alpha \; cos \alpha + cos \alpha \; sin \alpha$

$sin 2 \alpha = sin \alpha \; cos \alpha + sin \alpha \; cos \alpha$

$sin 2 \alpha = 2 sin \alpha \; cos \alpha$

Terbukti

Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Sinus dan pembahasannya

Jika diketahui:

$sin \alpha \; = \frac{3}{5}$

di mana α merupakan sudut lancip, tentukan nilai sin 2 α!

Pembahasan:

$sin \; \alpha = \frac{3}{5} \; \rightarrow \; cos \alpha = \frac{4}{5}$

Sehingga,

$sin \; 2 \alpha = 2 \cdot sin \alpha \; cos \alpha$

$sin \; 2 \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}$

$sin \; 2 \alpha = \frac{6}{25}$

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus untuk sudut rangkap fungsi cosinus diberikan seperti tiga persamaan berikut.

Bukti:

Persamaan pertama:

$cos 2 \alpha = cos \left( \alpha + \alpha \right)$

$cos 2 \alpha = cos \alpha \; cos \alpha - sin \alpha \; sin \alpha$

$cos 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha$

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan kedua dan ketiga adalah persamaan yang benar.

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat kembali rumus identitas trigonometri dari persamaan sin2α + cos2α = 1.

Persamaan kedua:

$cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha$

$cos \; 2 \alpha = \left( 1 - sin^{2} \alpha \right) - sin^{2} \alpha$

$cos \; 2 \alpha = 1 - sin^{2} \alpha - sin^{2} \alpha$

$cos \; 2 \alpha = 1 - 2sin^{2} \alpha$

Persamaan ketiga:

$cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha$

$cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - \left(1 - cos^{2} \alpha \right)$

$cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - 1 + cos^{2} \alpha$

$cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha + cos^{2} \alpha - 1$

$cos \; 2 \alpha = 2 cos^{2} \alpha - 1$

Terbukti benar untuk tiga persamaan pada sudut rangkap fungsi cosinus.

Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Cosinus dan pembahasannya

Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120o dengan memanfaatkan rumus pada sudut rangkap!

Pembahasan:

$cos 120^{o} = cos \left( 2 \cdot 60 \right)$

$cos 120^{o} = cos^{2}60 - sin^{2}60$

$cos 120^{o} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} \right)^{2}$

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Ketiga adalah bahasan rumus sudut rangkap untuk fungsi tangen. Terdapat sebuah persamaan yang menyatakan persamaan sudut rangkap fungsi tangen. Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

Dari mana persamaan di atas diperoleh? Perhatikan pembuktian berikut.

Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Tangen dan Pembahasannya

Jika diketahui nilai

$tan \; \alpha = \frac{2}{3}$

Jika sudut α merupakan sudut lancip maka tentukan nilai tan 2 α.

Pembahasan:

$tan 2 \; \alpha = \frac{2\cdot tan \alpha}{1 - tan^{2} \alpha}$

$tan 2 \; \alpha = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{2}}$

$tan 2 \; \alpha = \frac{\frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{9} }$

$tan 2 \; \alpha = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9} }$

$tan 2 \; \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{5}$

$tan 2 \; \alpha = \frac{12}{5}$

Sekian pembahasan mengenai rumus trigonometri sudut rangkap yang meliputi rumus sin sudut rangkap, rumus cos sudut rangkap, dan rumus tan sudut rangkap. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Cari Blog Ini

Najwa Al Zahra XI IPA 3